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一種常用的測(cè)量復(fù)雜正弦信號(hào)瞬時(shí)頻率的技術(shù)是計(jì)算信號(hào)瞬時(shí) θ( n ) 相位的導(dǎo)數(shù)，如下面的圖 13–60所示。


圖 13–60  使用反正切函數(shù)的頻率解調(diào)器。

這是傳統(tǒng)的離散信號(hào)調(diào)頻解調(diào)方法，效果很好。解調(diào)器的瞬時(shí)輸出頻率為下面的 Eq13-111：


其中f s 是以赫茲為單位的采樣率。

計(jì)算瞬時(shí)相位 θ( n ) 需要反正切運(yùn)算，如果沒有大量的計(jì)算資源，很難準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)。這是用于計(jì)算等式Δθ( n )的方案。(13–111) 沒有中間 θ( n ) 相位計(jì)算（及其討厭的反正切函數(shù)）。我們推導(dǎo)出 ?θ( n ) 計(jì)算算法如下，初使用基于以下定義的連續(xù)時(shí)間變量：

i ( t ) = 同相信號(hào)，
q ( t ) = 正交相位信號(hào)，
θ( t ) = tan –1 [ q ( t )/ i ( t )] = 瞬時(shí)相位，
Δθ( t ) = 時(shí)間導(dǎo)數(shù)的 θ ( t )。(13-112)  

首先，我們讓r ( t )= q ( t )/ i ( t ) 成為我們?cè)噲D計(jì)算其反正切導(dǎo)數(shù)的信號(hào)。微積分恒等式tan –1 [ r ( t )]的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是


因?yàn)?d[ r ( t )]/dt = d[ q ( t )/ i ( t )]/dt，我們使用微積分恒等式對(duì)比率的導(dǎo)數(shù)來寫


堵塞方程 (13–114) 的結(jié)果進(jìn)入 Eq. (13–113)，我們有


替換等式中的r ( t )。(13–115) 和q ( t )/ i ( t ) 產(chǎn)量


我們到了那里。接下來我們將方程式中個(gè)比率的分子和分母相乘。(13–116) 乘以i 2 ( t )，并將t替換為我們的離散時(shí)間變量索引n以得出我們的終結(jié)果

圖 13–61。 無反正切頻率解調(diào)器：（a）標(biāo)準(zhǔn)過程； (b) 簡(jiǎn)化程序。

圖 13–61(a) 顯示了該算法的實(shí)現(xiàn)，其中i ( n ) 和q ( n ) 的導(dǎo)數(shù)分別為i’( n ) 和q ’( n )。Δφ( n ) 輸出序列用于等式。(13–111) 計(jì)算瞬時(shí)頻率。

微分器是抽頭數(shù)為奇數(shù)的抽頭延遲線 FIR 微分濾波器。當(dāng)微分器是一個(gè)系數(shù)為 1,0,–1 的 FIR 濾波器時(shí)，參考文獻(xiàn) [54] 了可接受的結(jié)果。

圖 13–61 中的延遲元件用于將i ( n ) 和q ( n ) 與微分器的輸出進(jìn)行時(shí)間對(duì)齊，以便在使用K抽頭微分器時(shí)延遲為 ( K –1)/2 個(gè)樣本. 實(shí)際上，可以通過關(guān)閉微分濾波器的中心抽頭來獲得延遲。

如果i ( n )+ jq ( n ) 信號(hào)是純粹的 FM 和硬限制使得i 2 ( n )+ q 2 ( n ) = 常數(shù)，則方程式中的分母計(jì)算。(13–117) 不需要執(zhí)行。在這種情況下，使用 1,0,–1 系數(shù)微分器，F(xiàn)M 解調(diào)器被簡(jiǎn)化為圖 13–61(b) 中所示的解調(diào)器，其中縮放操作是乘以常數(shù)的倒數(shù)。